指数函数练习与巩固
a) 绘制 \(y = (1.7)^x\) 的精确图像，其中 \(-4 \leq x \leq 4\)。
b) 使用你的图像解方程 \((1.7)^x = 4\)。
由于 \(1.7 > 1\)，这是一个增函数。先计算几个关键点的函数值，然后绘制图像。
a) 绘制 \(y = (1.7)^x\) 的图像：
由于 \(1.7 > 1\)，这是一个增函数。图像经过点 \((0,1)\)，当 \(x\) 增大时函数值增大，当 \(x\) 减小时函数值趋向于0。
关键点：\((-2, 0.35)\), \((-1, 0.59)\), \((0, 1)\), \((1, 1.7)\), \((2, 2.89)\)
b) 解方程 \((1.7)^x = 4\)：
从图像可以看出，当 \(y = 4\) 时，\(x \approx 2.3\)
a) 绘制 \(y = (0.6)^x\) 的精确图像，其中 \(-4 \leq x \leq 4\)。
b) 使用你的图像解方程 \((0.6)^x = 2\)。
由于 \(0 < 0.6 < 1\)，这是一个减函数。注意函数值的变化趋势。
a) 绘制 \(y = (0.6)^x\) 的图像：
由于 \(0 < 0.6 < 1\)，这是一个减函数。图像经过点 \((0,1)\)，当 \(x\) 增大时函数值趋向于0，当 \(x\) 减小时函数值增大。
关键点：\((-2, 2.78)\), \((-1, 1.67)\), \((0, 1)\), \((1, 0.6)\), \((2, 0.36)\)
b) 解方程 \((0.6)^x = 2\)：
从图像可以看出，当 \(y = 2\) 时，\(x \approx -1.3\)
画出 \(y = 1^x\) 的图像。
考虑当底数为1时，指数函数的特殊情况。
\(y = 1^x\) 的图像：
对于任何 \(x\) 值，\(1^x = 1\)，所以图像是一条水平直线 \(y = 1\)。
这不是严格意义上的指数函数，因为底数等于1。
对于以下每个陈述，判断其真假，并证明你的答案或提供反例：
a) 对于所有正实数 \(a\)，\(y = a^x\) 的图像都经过点 \((0,1)\)。
b) 对于 \(a > 0\)，函数 \(f(x) = a^x\) 总是增函数。
c) 对于正实数 \(a\)，\(y = a^x\) 的图像永远不会与 \(x\) 轴相交。
考虑不同底数的情况，特别是 \(0 < a < 1\) 和 \(a > 1\) 的区别。
a) 真：对于任何正实数 \(a\)，\(a^0 = 1\)，所以图像都经过 \((0,1)\)。
b) 假：当 \(0 < a < 1\) 时，函数是减函数。反例：\(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)。
c) 真：指数函数的值域是 \((0, +\infty)\)，永远不会等于0。
函数 \(f(x)\) 定义为 \(f(x) = 3^x, x \in \mathbb{R}\)。在同一坐标系中，画出以下图像：
a) \(y = f(x)\)
b) \(y = 2f(x)\)
c) \(y = f(x) - 4\)
d) \(y = f\left(\frac{1}{2}x\right)\)
写出每个图像与 \(y\) 轴交点的坐标，并给出任何渐近线的方程。
分析每个变换对原函数的影响：垂直拉伸、垂直平移、水平拉伸。
a) \(y = f(x) = 3^x\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,1)\)，渐近线为 \(y = 0\)
b) \(y = 2f(x) = 2 \cdot 3^x\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,2)\)，渐近线为 \(y = 0\)
c) \(y = f(x) - 4 = 3^x - 4\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,-3)\)，渐近线为 \(y = -4\)
d) \(y = f\left(\frac{1}{2}x\right) = 3^{\frac{x}{2}}\)：与 \(y\) 轴交点为 \((0,1)\)，渐近线为 \(y = 0\)
\(y = ka^x\) 的图像经过点 \((1,6)\) 和 \((4,48)\)。求常数 \(k\) 和 \(a\) 的值。
问题解决：将坐标代入 \(y = ka^x\) 建立联立方程。使用除法消去其中一个未知数。
建立两个方程，然后通过除法消去 \(k\)，先求出 \(a\)。
从点 \((1,6)\)：\(6 = ka^1 = ka\)
从点 \((4,48)\)：\(48 = ka^4\)
将第一个方程代入第二个：\(48 = 6a^3\)
\(a^3 = 8\)，所以 \(a = 2\)
代入第一个方程：\(6 = k \cdot 2\)，所以 \(k = 3\)
因此 \(k = 3\)，\(a = 2\)
\(y = pq^x\) 的图像经过点 \((-3,150)\) 和 \((2,0.048)\)。
a) 通过画图或其他方式，解释为什么 \(0 < q < 1\)。
b) 求常数 \(p\) 和 \(q\) 的值。
观察两个点的位置，分析函数的单调性，然后建立方程组求解。
a) 由于图像经过点 \((-3,150)\) 和 \((2,0.048)\)，当 \(x\) 增大时 \(y\) 减小，所以 \(0 < q < 1\)。
b) 从点 \((-3,150)\)：\(150 = pq^{-3}\)
从点 \((2,0.048)\)：\(0.048 = pq^2\)
将第一个方程代入第二个：\(0.048 = 150q^5\)
\(q^5 = \frac{0.048}{150} = 0.00032\)
\(q = 0.2\)
代入第二个方程：\(0.048 = p \cdot (0.2)^2 = p \cdot 0.04\)
\(p = \frac{0.048}{0.04} = 1.2\)
因此 \(p = 1.2\)，\(q = 0.2\)
画出 \(y = 2^{x-2} + 5\) 的图像。给出图像与 \(y\) 轴交点的坐标。
这是 \(y = 2^x\) 的图像向右平移2个单位，再向上平移5个单位。
\(y = 2^{x-2} + 5\) 的图像：
这是 \(y = 2^x\) 的图像向右平移2个单位，再向上平移5个单位。
与 \(y\) 轴相交时 \(x = 0\)：
\(y = 2^{0-2} + 5 = 2^{-2} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = \frac{21}{4}\)
图像与 \(y\) 轴相交于点 \(\left(0, \frac{21}{4}\right)\)
渐近线为 \(y = 5\)